Übersicht wichtiger Zahlenkörper/-ringe

ℕ   ⊊     ℤ      ⊊           ℚ     ⊊     | ℝ   ⊊   *ℝ   ⊊   surreale Zahlen
        ⊊            ⊊           | ⊊
        ℤ[i]      ⊊        ℚ(i)     ⊊     | ℂ := (ℝ2, +, *) = ℝ(i)
      ⊊       ⊊         |
        {α|𝔸}        ⊊   𝔸     ⊊ |
        ⊊            ⊊     ⊊     | ⊊
                    𝕂∞,∞   |
———————————————————————— |————————————————
    ℤ[i,j,k]      ⊊   ℚ(i,j,k)     ⊊     | ℍ := (ℝ4, +, *) = ℝ(i,j,k)
                        | ⊊
                        | 𝕆 := ℝ(i,j,k,l,m,n,o)
                        | ⊊
                        | 𝕊

 

ℕ natürliche Zahlen ⊊ ↓   kommutativer Bewertungshalbring D ANBK - ANK
ℤ ganze Zahlen ⊊ ↓ 1-dimensional ganz euklidischer noetherscher Ring D GK - ANK ohne T
ℤ[i] gaußsche (ganze) Zahlen ⊊ ↓ 2-dimensional ganz euklidischer Ganzheitsring D GK - ANK ohne T
{α|𝔸} ganz algebraische Zahlen algebraische Zahlen α die ganzes Element über ℤ sind
ℤ[α] ist endlich erzeugtes ℤ-Modul		 euklidischer Ganzheitsring D GK - ANK ohne T
ℤ[ω] Eisenstein-Zahlen Maximalordnung des quadratischen Zahlkörpers ℚ(√-3) euklidischer Ganzheitsring D GK - ANK ohne T
  positive Brüche ⊊ ↓   kommutativer Halbkörper D AK - GK
  positive Brüche mit 0 ⊊ ↓   kommutativer Halbkörper mit 0 D ANBK - GK
ℚ rationale Zahlen ⊊ ↓ 1-dimensional rational geordneter Körper D GK - GK
ℚ(i) gaußsche rationale Zahlen 2-dimensional rational Kreisteilungskörper, imaginärquadratischer Zahlkörper D GK - GK
  konstruierbare Zahlen ⊊ ↓ mit Zirkel und Lineal konstruierbar
euklidischer Abschluss von ℚ		 archimedisch geordneter euklidischer Körper D GK - GK
  reelle algebraische Zahlen ⊊ ↓   reell abgeschlossener archimedisch geordneter euklidischer Körper D GK - GK
𝔸 algebraische Zahlen ⊊ ↓ Nullstelle eines Polynoms mit ganzen Koeffizienten
algebraische Erweiterung von ℚ, deg(𝔸 : ℚ) = ℵ0		 algebraisch abgeschlossener pythagoreischer Körper  D GK - GK
𝕂∞,∞ konstruktive Zahlen mit drei Klammern (-, e, ln) konstruierte
verschachtelte Baumstrukturen, trdeg(𝕂∞,∞ : ℚ) = ℵ0
𝕂0,0 = 𝔸,
𝕂0,1 = 𝔸({ln k | k ∈ 𝔸\0}), 𝕂1,0 = 𝔸({ek | k ∈ 𝔸}),
𝕂1,1 = 𝕂1,0({ln k | k ∈ 𝕂1,0\0}) = 𝕂0,1({ek | k ∈ 𝕂0,1}),
...
trdeg(𝕂n+1,m : 𝕂n,m) = trdeg(𝕂n,m+1 : 𝕂n,m) = ℵ0 ?		 algebraisch abgeschlossene pythagoreische Körper D GK - GK
    ———————————————— überabzählbar unendlich ——————————————————  
  proendliche Zahlen Rest in allen ganzzahligen Restklassenringen proendliche Gruppe -- kompakt, total unzusammenhängend G
ℤp ganze p-adische Zahlen ⊊ ↓ Folge von Restklassen aus ℤ/pnℤ diskreter Bewertungsring und proendliche Gruppe -- wie oben + vollständig D GK - ANK ohne T
ℚp p-adische Zahlen ⊊ ↓ {p-n | n ∈ ℕ0} • ℤp= ℚ • ℤp = ℚ + ℤp nicht geordneter Körper -vollständig, lokalkompakt, total unzusammenhängend D GK - GK
ℂp Vervollständigung des algebraischen Abschlusses der Metrik auf ℚp algebraisch abgeschlossener nicht geordneter Körper D GK - GK
ℝ reelle Zahlen ⊊ ↓ 1-dimensional reell - am wenigsten mächtiges
konsistent behauptbares Kontinuum		 reell abgeschlossener archimedisch geordneter euklidischer Körper D GK - GK
ℂ komplexe Zahlen 2-dimensional reell ℂ = ℝ(i) algebraisch abgeschlossener pythagoreischer Körper D GK - GK
*ℝ hyperreelle Zahlen Folgen von reellen Zahlen reell abgeschlossener Körper D GK - GK
ℵOn Kardinalzahlen Mächtigkeit einer Menge echte Klasse mit Eigenschaften eines kommutativen Bewertungshalbrings D ANBK - ANK
  Kardinalzahlen bis zu einer oberen Schranke kommutativer Bewertungshalbring D ANBK - ANK
  zusätzlich beschränkt auf unendliche Kardinalzahlen und 0 und 1 kommutatives Dioid D ANBKP - ANKP
On Ordinalzahlen ⊊ ↓ Position in einer geordneten Menge echte Klasse mit Monoideigenschaften D AN - AN
  surreale Zahlen ⊊ ↓ Äquivalenzklassen von konstruierten Mengen echte Klasse mit Eigenschaften eines geordneten Körpers D GK - GK
—————————————————————————————————————— hyperkomplex ——————————————————————————————————————————————————
ℤ[i,j,k] Hurwitzquaternion 4-dimensional ganz euklidischer Ganzheitsring D GK - ANK ohne T
ℚ(i,j,k) rationale Quaternionen 4-dimensional rational Schiefkörper (Divisionsring) D GK - G
  berechenbare Zahlen berechenbar durch eine Turingmaschine Körper D GK - GK
    ———————————————— überabzählbar unendlich ——————————————————  
ℍ Quaternionen ⊊ ↓ 4-dimensional reell Schiefkörper (Divisionsring) D GK - G
𝕆 Oktonionen ⊊ ↓ 8-dimensional reell Alternativkörper D GK - AltNI
𝕊 Sedenionen 16-dimensional reell nichtkommutative Jordan-Algebra D GK - FlexNI
————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————
  definierbare Zahlen definiert in einer formalen Sprache ?  

konstruktive Zahlen


unendlicher distributiver Verband transzendenter Erweiterungskörper

hyperkomplex Zahlen

Ordinalzahlen

transitive Menge - x ∈ y ∧ y ∈ M → x ∈ M   bzw.   x ∈ M → x ⊂ M   bzw.   M ⊂ P(M)
Ordinalzahl - transitive Menge aus Ordinalzahlen (nach Neumann-Zermelo)
jede wohlgeordnete Menge ist ordnungsisomorph zu genau einer Ordinalzahl
z.B. ist {0, 2, 4, 6, ..., ω, ω + 2, ω + 4, ω + 6} ordnungsisomorph zu {0, 1, 2, 3, ..., ω, ω + 1, ω + 2, ω + 3}

0 = ∅
1 = {∅}
2 = {∅, {∅}}
3 = {∅, {∅}, {∅,{∅}}}
4 = {∅, {∅}, {∅,{∅}}, {∅,{∅},{∅,{∅}}}}
5 = {∅, {∅}, {∅,{∅}}, {∅,{∅},{∅,{∅}}}, {∅, {∅}, {∅,{∅}}, {∅,{∅},{∅,{∅}}}}}
...
ω = ω0 = {0, 1, 2, ...} = {∅, {∅}, {∅,{∅}}, ...}   -   erste bzw. kleinste (abzählbar) unendliche Ordinalzahl bzw. Limes-Ordinalzahl
ω + 1 = {0, 1, 2, ..., {0, 1, 2, ...}} = {0, 1, 2, ..., ω} = {∅, {∅}, {∅,{∅}}, ..., {∅, {∅}, {∅,{∅}}, ...}}
ω + 2 = {0, 1, 2, ..., {0, 1, 2, ...}, {0, 1, 2, ..., {0, 1, 2, ...}}} = {0, 1, 2, ..., ω, ω + 1}
...
ω * 2       = {0, 1, 2, ..., {0, 1, 2, ...}, {0, 1, 2, ..., {0, 1, 2, ...}}, ...} = {0, 1, 2, ..., ω, {0, 1, 2, ..., ω}, ...} = {0, 1, 2, ..., ω, ω + 1, ...}
ω * 2 + 1 = {0, 1, 2, ..., {0, 1, 2, ...}, {0, 1, 2, ..., {0, 1, 2, ...}}, ..., {0, 1, 2, ..., {0, 1, 2, ...}, {0, 1, 2, ..., {0, 1, 2, ...}}, ...}}
ω * 2 + 2 = {0, 1, 2, ..., ω, ω + 1, ..., {0, 1, 2, ..., ω, ω + 1, ...}, {0, 1, 2, ..., ω, ω + 1, ..., {0, 1, 2, ..., ω, ω + 1, ...}}}
...
ω * 3   = {0, 1, 2, ..., ω, ω + 1, ..., {0, 1, 2, ..., ω, ω + 1, ...}, {0, 1, 2, ..., ω, ω + 1, ..., {0, 1, 2, ..., ω, ω + 1, ...}}, ...}
...
ω * 4   = {0, 1, 2, ..., ω, ω + 1, ..., ω * 2, ω * 2 + 1, ..., ω * 3, ω * 3 + 1, ...}
...
ω2       = {0, 1, 2, ..., ω, ω + 1, ..., ω * 2, ω * 2 + 1, ..., ω * 3, ω * 3 + 1, ...2}
ω2 + 1 = {0, 1, 2, ..., ω, ω + 1, ..., ω * 2, ω * 2 + 1, ..., ω * 3, ω * 3 + 1, ...2, ω2}
...
ω2 + ω = {0, 1, 2, ..., ω, ω + 1, ..., ω * 2, ω * 2 + 1, ..., ω * 3, ω * 3 + 1, ...2, ω2, ω2 + 1, ...}
...
ω2 * 2 = {0, 1, 2, ..., ω, ω + 1, ..., ω * 2, ω * 2 + 1, ..., ω * 3, ω * 3 + 1, ...2, ω2, ω2 + 1, ..., ω2 + ω, ω2 + ω + 1, ..., ω2 + ω * 2, ...2}
...
ω3       = {0, 1, 2, ..., ω, ω + 1, ..., ω * 2, ω * 2 + 1, ..., ω * 3, ω * 3 + 1, ...2, ω2, ω2 + 1, ..., ω2 + ω, ω2 + ω + 1, ..., ω2 + ω * 2, ...3}
...
ωω      = {0, 1, 2, ..., ω, ω + 1, ..., ω * 2, ω * 2 + 1, ..., ω * 3, ω * 3 + 1, ...2, ω2, ω2 + 1, ..., ω2 + ω, ω2 + ω + 1, ..., ω2 + ω * 2, ...ω}
...
ωωω    = {0, 1, 2, ..., ω, ω + 1, ..., ω * 2, ω * 2 + 1, ..., ω * 3, ω * 3 + 1, ...2, ω2, ω2 + 1, ..., ω2 + ω, ω2 + ω + 1, ..., ω2 + ω * 2, ...ωω}
...
ωωωω... = ε0 = ωε0   -   erste Ordinalzahl mit Fixpunkteigenschaft
ε0 + 1
ε0 + ω
ε0 + ω2
ε0 + ωω
ε0 * 2
ε02
ε0ω
ε0ωω
ε0ωωω... = ε0ε0
ε0ε0 + 1
...
ε0ε0ε0... = ε1 = ε0ε1 = ωε0ε1 = ωε1   -   zweite Ordinalzahl mit Fixpunkteigenschaft
ε1 + 1
...
ε1ε1ε1... = ε2 = ε1ε2 = ωε1ε2 = ωε2   -   dritte Ordinalzahl mit Fixpunkteigenschaft
ε2 + 1
...
εω = ωεω   -   ω-te Ordinalzahl mit Fixpunkteigenschaft
εω + 1
...
εω+1
εω*2
εω2
εωω
εωωω... = εε0
εε0 + 1
...
εεε... = ω1 = εω1  -   Ordinalzahl mit 2. Fixpunkteigenschaft  -  erste bzw. kleinste überabzählbar unendliche Ordinalzahl - Mächtigkeit von ℝ
ω1 + 1
...
ω1ω1ω1... = π0 = ω1π0  -   erste Ordinalzahl mit 3. Fixpunkteigenschaft
π0 + 1
...
π0π0π0... = π1 = π0π1 = ω1π1   -   zweite Ordinalzahl mit 3. Fixpunkteigenschaft
π1 + 1
...
πππ... = ω2 = πω2   -   Ordinalzahl mit 4. Fixpunkteigenschaft  -  erste bzw. kleinste überüberabzählbar unendliche Ordinalzahl
ω2 + 1
...
ωω   -   Ordinalzahl mit 2*ω. Fixpunkteigenschaft  -  erste bzw. kleinste ω-fach überabzählbar unendliche Ordinalzahl
ωω + 1
...
ωωω  -  erste bzw. kleinste ωω -fach überabzählbar unendliche Ordinalzahl
ωωω + 1
...
ωωωω...  -  Wie soll man so was noch bezeichnen?
ωωωω... + 1
...
Ω = Ω + 1   -   größte Ordinalzahl - unendlichvielfältig unendlichfach gesteigerte Unendlichkeit - nicht konsistent definierbar bzw. formalisierbar (ebenso wie Gott Typ 1, Welt und Leben)

Kardinalzahlen

0 = 0 = ∅
1 = 1 = {∅}
2 = 2 = {∅, {∅}}
3 = 3 = {∅, {∅}, {∅,{∅}}}
4 = 4 = {∅, {∅}, {∅,{∅}}, {∅,{∅},{∅,{∅}}}}
...
ℵ0 = ℶ0 = |ω| = |ℕ|   -   abzählbar unendliche Mächtigkeit - Mächtigkeit von ℕ
unter Voraussetzung des Auswahlaxiom gilt ω = ℵ0 = ℶ0 bzw. ℵ ⊊ On wodurch Kardinalzahlen zu speziellen (Neumann-Zermelo-)Ordinalzahlen und somit zu (wohlgeordneten) Mengen werden
ℵ1 ≤ ℶ1 = ω1 = 2ℵ0 = 2|ℕ| = |ℝ|   -   überabzählbar unendliche Mächtigkeiten - Mächtigkeit von ℝ
für alle Ordinalzahlen a > 0 gilt ωa = ℶa und ℵa ≤ ℶa und ℵa+1 ≤ 2ℵa

unter Voraussetzung der Kontinuumshypothese (CH) gilt    2ℵa = ℵa+1     ℵa = ℶa     ℵ1 = ℶ1 = ω1 = |ℝ| = 2|ℕ| < ℵ2 = ℶ2 = ω2 = 2|ℝ| < ...
unter Voraussetzung der Negation von CH gilt 2ℵa > ℵa+1     ℵa < ℶa ℵ1 < ℶ1 = ω1 = |ℝ| = 2|ℕ| <         ℶ2 = ω2 = 2|ℝ| < ...
Deutsch English