Unvollständige, wahrscheinlich inkonsistente und fehlerhafte Übersicht mathematischer Strukturen

In dieser Übersicht werden Dinge zusammengefügt, die oft nicht richtig zusammen passen, und damit Verbindungen suggeriert, die wahrscheinlich schlichtweg falsch sind. Vielleicht hätte ich mein Mathestudium doch nicht abbrechen sollen. Aber irgendwie bin ich nicht der Einzige, der sich damit verhoben hat (Link).

---------------------------------------------- Abkürzungen -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Flex - Flexibilität	a ○ (b ○ a) = (a ○ b) ○ a	a, b ∈ M
Linksalternativität	a ○ (a ○ b) = (a ○ a) ○ b	a, b ∈ M
Rechtsalternativität	a ○ (b ○ b) = (a ○ b) ○ b	a, b ∈ M
Alt - Alternativität	Linksalternativität ∧ Rechtsalternativität
A - Assoziativität	a ○ (b ○ c) = (a ○ b) ○ c	a, b, c ∈ M
K - Kommutativität	a ○ b = b ○ a (D-Symmetrie)	a, b ∈ M
P - Idempotenz	a ○ a = a (Diagonale (x=y))	a ∈ M
lD - Linksdistributivität	a • (b + c) = a • b + a • c	a, b, c ∈ M
rD - Rechtsdistributivität	(a + b) • c = a • c + b • c	a, b, c ∈ M
D - Distributivität	lD ∧ rD
lN - linksneutrales Element	lN ○ a = a (1. Zeile = x)	lN, a ∈ M
rN - rechtsneutrales Element	a ○ rN = a (1. Spalte = y)	rN, a ∈ M
N - neutrales Element	lN ∧ rN (z.B. N₊ = 0, N_• = 1)
lI - linksinverses Element	lI ○ a = N	lI, N, a ∈ M
rI - rechtsinverses Element	a ○ rI = N	rI, N, a ∈ M
I - inverses Element	lI ∧ rI (selbst invers → N in Diagonale)
lÜ - linkskürzbares Element	lÜ ○ a = lÜ ○ b → a = b (Zeile unique)	lÜ, a, b ∈ M
rÜ - rechtskürzbares Element	a ○ rÜ = b ○ rÜ → a = b (Spalte unique)	rÜ, a, b ∈ M
Ü - kürzbares Element	lÜ ∧ rÜ (K ⇒ lÜ = rÜ = Ü)
lB - linksabsorbierendes Element	lB ○ a = lB (Zeile = lB)	lB, a ∈ M
rB - rechtsabsorbierendes Element	a ○ rB = rB (Spalte = rB)	rB, a ∈ M
B - absorbierendes Element	lB ∧ rB (z.B. 0 • a = 0 = a • 0)
lT - Linksnullteiler	lT • a = N₊	lT, a ∈ M \ {N₊}
rT - Rechtsnullteiler	a • rT = N₊	rT, a ∈ M \ {N₊}
T - Nullteiler	lT ∧ rT (Ring ⇒ Ü ↔ ¬T)

Orthogonalität Skalarprodukt der Vektoren v, w ist gleich 0
Dualität Vertauschung der Verknüpfungen & neutralen Elemente

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------------------------------------------ algebraische Strukturen ---------------------------------------------------------------------------------------------------------
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In den Bäumen fett gedruckte Wörter markieren Graphenkanten die im Baum nicht darstellbar sind.

Pseudo-Magma
Magma (Gruppoid)
Quasigruppe (lateinisches Quadrat)
kommutative Quasigruppe
Quasigruppe mit Inverseneigenschaft
Loop

partielle Funktionen
- Totalität des Definitionsbereichs (hat Basis → frei)
  - + Ü (Teilbarkeit, Eindeutigkeit der Verknüpfung)
    - + K
    - + I
    - + N(l|r)I

--------------- Halbgruppen / Halbverbände -- ab hier Assoziativität A (außer Alternativring und Ternärkörper) ----------------------------------------------------

Halbgruppe (assoziatives Magma)
abelsche Halbgruppe
(links|rechts)kürzbare Halbgruppe
kürzbare (reguläre) Halbgruppe
Halbgruppe mit (l|r)neutralem Element
Monoid
abelsches Monoid
Band (idempotente Halbgruppe)
kommutatives Band (Halbverband)
beschränkter Halbverband
residuierter Halbverband
Infimum-Halbverband
Supremum-Halbverband
vollständiger Halbverband

A - Magma
- + K
- + (l|r)Ü
  - + Ü - Quasigruppe
- + (l|r)N (hat Basis → frei)
  - + N (hat Basis → frei) - kann invertierbare Eilemente (Einheiten) enthalten (z.B. Klasse der Ordinalzahlen)
    - + K (hat Basis → frei)
- + P
  - + K
    - + N - abelsches Monoid
    - + besteht zusätzlich aus einem Monoid
    - + jede nichtleere Teilmenge besitzt ein Infimum
    - + jede nichtleere Teilmenge besitzt ein Supremum
      - + Infimum-Halbverband

------------------------------------------ Verbände (zwei Verknüpfungen) ------------------------------------------------------------------------------------------------

Verband
residuierter Verband
beschränkter Verband
komplementärer Verband
orthokomplementärer Verband
orthomodularer Verband
bedingt vollständiger Verband
vollständiger Verband
algebraischer Verband
längenendlicher Verband
schwach semimodularer Verband
semimodularer Verband
Matroidverband
geometrischer Verband
modularer Verband
projektiver Verband
distributiver Verband
linear geordnete Menge
Heyting-Algebra
vollständige Heyting-Algebra
boolesche Algebra
modale Algebra
interior Algebra
monadische boolesche Algebra

2x AKP - 2x Halbverband (endliche ∧ nichtleere → vollständig)
- + 2x residuierter Halbverband
- 2x ANBKP - 2x beschränkter Halbverband - N sind das kleinste (0) und das größte (1) Element
  - + Komplementarität ∀a∃b: a ∧ b = 0, a ∨ b = 1 0, 1, a, b ∈ M
    - + a^⊥ ∨ a = 1, a^⊥ ∧ a = 0, a^⊥⊥ = a, a ≤ b → a^⊥ ≥ b^⊥, erfüllen De Morgansche Regeln
      - + a ≤ c → a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ c bzw. a ≤ c → a ∨ (a^⊥ ∧ c) = c
  - + jede nichtleere nach unten bzw. oben beschränkte Teilmenge besitzt ein Infimum bzw. Supremum
    - + 2x vollständiger Halbverband
      - + jedes Element ist das Supremum von kompakten Elementen
      - + jede linear geordnete Teilmenge ist endlich
- + a bedeckt a ∧ b und b bedeckt a ∧ b → a ∨ b bedeckt a und a ∨ b bedeckt b (endlich → semimodular)
  - + a bedeckt a ∧ b → a ∨ b bedeckt b (endlich ∧ dual semimodular → modular)
    - + atomar, algebraisch - zu (einfachen) Matroiden äquivalent
      - + endlich, komplementär
    - + Modularität x ≤ b → x ∨ (a ∧ b) = (x ∨ a) ∧ b bzw. (x ∧ b) ∨ (a ∧ b) = [(x ∧ b) ∨ a] ∧ b
      - + geometrisch - schnittstetig
      - 2x AKPD (endlich → Heyting-Algebra)
        
        + Verknüpfungen Maximum und Minimum (Anzahl ≤ 2 ↔ komplementär) (beschränkt → Heyting-Algebra)
        
        + beschränkt, residuiert - mit relativen Pseudokomplementen (Anzahl = 1 ↔ ∃a: a = ¬a)
        (intuitionistische Logik)
        
        + vollständig - zentraler Gegenstand der punktfreien Topologie (z.B. offene Mengen eines topologischen Raumes)
        
        + orthomodular - und regulär (¬¬a = a) ⟨M, ∧, ∨, ¬, 0, 1⟩
        (propositionale Logik)
        
        + einstelliger Modal-Operator ⟨M, ∧, ∨, ¬, 0, 1, ▢⟩
        (Modal-Logik)
        
        + interior: 1^I = 1, x^I ≤ x, x^II = x^I, (x∧y)^I = x^I∧y^I dual closure: 0^C = 0, x^C ≥ x, x^CC = x^C, (x∨y)^C = x^C∨y^C
        (S4)
        
        + ∀1 = 1, ∀x ≤ x, ∀(x∧y) = ∀x∧∀y, ∀x∨∀y = ∀(x∨∀y) dual ∃0 = 0, ∃x ≥ x, ∃(x∨y) = ∃x∨∃y, ∃x∧∃y = ∃(x∧∃y) (S5)

------------------- Gruppen -- ab hier Kürzbarkeit Ü (außer Nullteiler T in Ringen und Körpern) ----------------------------------------------------------------------

Gruppe G
endliche Gruppe
endliche abelsche Gruppe
triviale Gruppe
Normalteiler
Kommutatorgruppe K(G)
perfekte Gruppe
Faktorgruppe (Quotientengruppe)
Idealklassengruppe Cl(K)
auflösbare Gruppe
endlich erzeugte Gruppe
endlich erzeugte abelsche Gruppe
nilpotente Gruppe
dedekindsche Gruppe
hamiltonsche Gruppe
abelsche Gruppe
einfache Gruppe
endliche einfache Gruppe
Einheitengruppe Eg
p-Gruppe
endliche p-Gruppe
abelsche p-Gruppe
elementar abelsche Gruppe
endliche elementar abelsche Gruppe
dizyklische Gruppe Dic_n
Quaternionengruppe Q₈ ≅ Dic₂
Symmetriegruppe
symmetrische Gruppe S_n
S₃-Gruppe
S₄-Gruppe
alternierende Gruppe A_n
A₄-Gruppe
A₅-Gruppe
zyklische Gruppe C_n
Punktgruppe
Diedergruppe D_n
kleinsche Vierergruppe V₄ ≅ D₂
Raumgruppe
ebene kristallographische Gruppe
Sohncke-Raumgruppe

G := ANI - Monoid, Loop (hat Basis → frei)
- + endlich erzeugt - hat endliche Anzahl von Elementen
  - + abelsch - isomorph ist zu einer endlichen direkten Summe von endlichen zyklischen Gruppen, deren Ordnung die Potenz einer Primzahl ist
    - + {N}
- + Kern (Urbild von N) eines Gruppenhomomorphismus
  - + Untergruppe aller Kommutatoren (misst die Nichtkommutativität von zwei Elemente) einer Gruppe - K(S_n) = A_n für n > 1, K(A_n) = A_n für n > 4, K(A₄) = D₂, K(abelsch) = {N}
    - + Kommutatorgruppe der Gruppe ist gleich der Gruppe, deshalb nicht abelsch - A_n für n > 4, SL(2,𝔽₅)
- + G / Normalteiler = alle Nebenklassen bezüglich Normalteiler
  - + misst die Differenz zwischen beliebigen Idealen und Hauptidealen in einem Dedekindring R mit Quotientenkörper K (K algebraisch → (R faktoriell ↔ 1), K quadratisch → endlich)
- + hat Subnormalreihe mit abelschen Quotientengruppen
- + hat eine endliche Teilmenge (Erzeugendensystem), die G erzeugt
  - + abelsch - (z.B. (ℤ, +) mit Erzeuger {1}, jede direkte Summe von endlich vielen endlich erzeugten abelschen Gruppen)
- + absteigende Zentralreihe endet bei {N} aⁿ = N für a ∈ G (endlich → direktes Produkt von endlich vielen p-Gruppen)
- + jede Untergruppe ist Normalteiler
  - + ¬K - (endlich → Q₈ × G × (C₂)ⁿ wobei G eine abelsche Gruppe ungerader Ordnung ist)
  - + K - nilpotent - (frei ↔ projektiv ↔ flach ↔ torsionsfrei)
- + besitzt nur die triviale Gruppe und sich selbst als Normalteiler (¬K → perfekt)
  - + endlich - C_p für p prim, A_n für n > 4, Gruppen vom Lie-Typ über einem endlichen Körper (16 jeweils unendliche Familien), 26 sporadische Gruppen
- + Menge aller multiplikativ invertierbaren Elemente eines Ring mit 1
- + p prim - die Ordnung jedes Elements ist pⁿ
  - + nilpotent, auflösbar - (z.B. p² isomorph zu C_p² oder C_p × C_p)
  - + abelsch - (z.B. abelsch aber nicht elementar abelsche Gruppe C_p²)
    - + jedes Element außer N hat Ordnung p - jede Untergruppe und Quotientengruppe ist elementar abelsch - isomorph zu (V,+) ℤ/pℤ-Vektorraum über Körper ℤ/pℤ
      - + endliches (inneres) direktes Produkt von zyklischen Untergruppen der Ordnung p (z.B. C_p oder C_p × C_p)
- + n = 1 → abelsch, Ordnung 4n - Erweiterung zyklischer Gruppen
  - + Basis {1,i,j,k} des reellen Vektorraum der Quaternionen, Untergruppe von GL(2,ℂ) - kleinste hamiltonsche Gruppe
- + Untergruppe einer symmetrischen Gruppe
  - + n ≤ 2 → abelsch, Ordnung n! - Gruppe aller Permutationen - (n < 5 ? auflösbar : enthält einen einfachen nicht-zyklischen Normalteiler z.B. A₅)
    - + Symmetriegruppe des gleichseitigen Dreiecks - 6 Elementen - S₃ ≅ D₃ ≅ GL(2,2) ≅ SL(2,2) ≅ PGL(2,2) ≅ PSL(2,2) - kleinste nichtabelsche Gruppe
    - + Symmetriegruppe des regelmäßigen Tetraeders - 24 Elementen - Untergruppen A₄ D₄ S₃≅D₃ C₄ D₂ C₃≅A₃ C₂≅S₂≅D₁ C₁=S₁=A₂={N}
  - + n ≤ 3 → abelsch, Ordnung n!/2 - Gruppe aller geraden Permutationen - n < 5 auflösbar - A₆ ≅ PSL(2,9) A₈ ≅ GL(4,2) ≅ PGL(4,2) ≅ PSL(4,2)
    - + Gruppe der Drehungen des regelmäßigen Tetraeders - 12 Elemente - K(A₄) = D₂, A₄/D₂ ≅ A₃, A₄ ≅ PSL(2,3) - Untergruppen D₂ A₃ C₂ {N}
    - + einfach - Gruppe der Drehungen des Ikosaeders - 60 Elemente - A₅ ≅ PSL(2,4) ≅ PSL(2,5) - kleinste nichtabelsche einfache und kleinste nicht auflösbare Gruppe
  - + abelsch - additive Gruppe eines Restklassenrings - C₁ = S₁ = A₂ = {N} C₂ ≅ S₂ ≅ D₁ ≅ O(1) C₃ ≅ A₃ (Triskele) C₄ ≅ Dic₁(Swastika)
  - + beschreibt die Symmetrie eines endlichen Körpers
    - + n ≤ 2 → abelsch, Ordnung 2n - enthält n Drehungen und n Spiegelungen - (n = 2^r → nilpotent)
      - + abelsch - kleinste nicht-zyklische Gruppe
  - + euklidische Bewegungsgruppe - diskrete Untergruppe mit beschränktem Fundamentalbereich
    - + 17 periodische Muster oder Parkettierungen der euklidischen Ebene
    - + 65 chirale Raumgruppen - chirale Moleküle können nur in diesen kristallisieren

-------------------- Ringe -- ab hier Distributivität D von zwei Verknüpfungen (außer Ternärkörper) ------------------------------------------------------------------

Halb(links|rechts)fastring
abelscher Halb(links|rechts)fastring
(Links|Rechts)fastring
abelscher (Links|Rechts)fastring
distributiver Fastring
kommutativer Fastring
distributiver Halbfastring
kommutativer Halbfastring
Halbring (abelscher Halbfastring)
kommutativer Halbring
Hemiring
kommutativer Hemiring
Bewertungshalbring
kommutativer Bewertungshalbring
Dioid
kommutatives Dioid

(l|r)D A - A - 2x Halbgruppe
- (l|r)D AK - A
- (l|r)D G - A
  - (l|r)D GK - A - abelscher Halb(links|rechts)fastring
  - D G - A (idempotent → kommutativ)
    - D G - AK[P]
- D A - A (idempotent → kommutativ)
  - D A - AK[P]
  - D AK - A - abelscher Halb(links|rechts)fastring (idempotent → kommutativ)
    - D AK - AK[P] - kommutativer Halbfastring
      (z.B. Potenzmengen)
    - D ANBK - A
      - D ANBK - AK[P] - kommutativer Halbring
      - D ANBK - AN
        
        D ANBK - ANK[P] - kommutativer Hemiring
        (z.B. natürliche Zahlen ℕ, Kardinalzahlen bis zu einer oberen Schranke)
        
        D ANBKP - AN
        
        D ANBKP - ANK[P] - kommutativer Bewertungshalbring
        (z.B. natürliche Zahlen ℕ, unendliche Kardinalzahlen bis zu einer oberen Schranke und 0 und 1)

Alternativring
Ring R
Gegenring
Ring mit 1
unitärer Ring
Monoidring R[G]
Polynomringe R[X]
Faktorring (Quotientenring)
Restklassenring ℤ/nℤ
Matrizenring
(l|r)noetherscher Ring
noetherscher Ring
semiperfekter Ring
(l|r)artinscher Ring
artinscher Ring
lokaler Ring
noetherscher lokaler Ring
regulärer lokaler Ring
kommutativer Ring
kommutativer Ring mit 1
boolescher Ring
Integritätsring
normaler Integritätsring
Dedekindring
Ganzheitsring
faktorieller Ring
Hauptidealring
diskreter Bewertungsring
euklidischer Ring

D GK - Alt - abelsche Gruppe + Quasigruppe
(z.B. Oktonionen)
- D GK - A - Halbring, distributiver Fastring, abelscher (Links|Rechts)fastring (idempotent → kommutativ)
  - + vertauschte Faktoren bei der Multiplikation
  - D GK - A(l|r)N
    - D GK - AN - Bewertungshalbring
      - + kommutativer Ring mit 1 K und ein Monoid G (G kommutativ → kommutativ)
        
        + Menge aller Polynome mit Koeffizienten aus R und der Variablen X (R Integritätsring → Faktorring, R Körper → faktoriell)
      - + R/I - R ist Ring mit 1 und I ist Ideal von R - bildet Äquivalenzklassen modulo I (I ist Primideal ↔ R/I ist Integritätsring, I ist maximales Ideal ↔ R/I ist Körper)
        
        + n > 1 - über ganzen Zahlen (n prim → ohne T → endlicher Restklassenkörper 𝔽_p)
      - + Menge quadratischer Matrizen über einen Ring mit 1 mit Matrizenaddition und Matrizenmultiplikation
      - + als R-(Links|Rechts)modul noethersch (kommutativ → noethersch)
        
        + jede unendliche aufsteigende Kette von Untermoduln bzw. offenen Mengen wird stationär (alle Untermodule/Ideale sind endlich erzeugt) (z.B. ganze Zahlen ℤ)
      - + jeder endlich erzeugte (Links|Rechts)modul hat eine projektive Decke
        
        + noethersch - ist artinsch als (Links|Rechts)modul
        
        + ist links und rechtsartinsch (endlich viele maximale Ideale) (Primideal → maximal)
        
        + es gibt genau ein maximales Links- oder Rechtsideal
        
        + noethersch
        
        + faktoriell - mit endlicher globale Dimension
  - D GK - AK[P] - kommutativer Halbring, kommutativer Fastring
    - D GK - ANK[P] (mit|ohne) T - unitär, kommutativer Bewertungshalbring - (Eg = R\N → Körper, Komplement der Eg ist ein Ideal → lokal, noethersch + dim=0 → artinsch)
      - D GK - ANKP - (z.B. Potenzreihen-Ring)
      - D GK - ANK ohne T - Teilring eines Körpers, kann ein Quotientenkörper als Obermenge zugeordnet werden, Nullideal (0) ist Primideal (endlich → artinsch → Körper)
        
        + ist ganzabgeschlossen in seinem Quotientenkörper
        
        + noethersch - dim ∈ {0, 1}, eindeutige Zerlegung jedes Ideals in Primideale, jedes gebrochene Ideal ≠ (0) ist invertierbar (dim=0 → Körper, faktoriell → Hauptidealring)
        
        + O_K - ganzer Abschluss von ℤ in algebraischem Zahlkörper K
        (z.B. ganz algebraische Zahlen ℤ[α], gaußsche Zahlen ℤ[i], Eisenstein-Zahlen ℤ[ω], Hurwitzquaternion)
        
        + eindeutige Zerlegung in irreduzible Faktoren
        
        + Dedekindring, regulär - jedes Ideal ist ein Hauptideal, jedes Primideal ≠ (0) ist maximal
        
        + dim=1
        (z.B. ganze p-adische Zahlen ℤ_p)
        
        + Division mit Rest
        (z.B. ganze Zahlen ℤ, ganz algebraische Zahlen ℤ[α], gaußsche Zahlen ℤ[i], Eisenstein-Zahlen ℤ[ω], Hurwitzquaternion)

-------------------------------------------- Körper --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Halbkörper
kommutativer Halbkörper
Halbkörper mit 0
kommutativer Halbkörper mit 0

D AK - G - Halbring
- D AK - GK - kommutativer Halbring
  (z.B. positive Brüche)
- D ANBK - G - Hemiring
  - D ANBK - GK - kommutativer Halbkörper, komm. Bewertungshalbring (z.B. positive Brüche mit 0)

dreistellige Verknüpfung - Koordinatenbereich einer affinen Ebene
- + Ternärverknüpfung kann durch eine Addition (N(l|r)I) und eine Multiplikation (N(l|r)I) dargestellt werden
  - (l|r)D G - N(l|r)I - Gruppe + Loop
    - (l|r)D G - AN(l|r)I
    - (l|r)D GK - N(l|r)I - Koordinatenmenge einer affinen Translationsebene
      - (l|r)D GK - G - assoziative kartesische Gruppe
      - D GK - NI
        
        D GK - FlexNI - Jordan-Identität
        (z.B. Sedenionen 𝕊)
        
        D GK - AltNI (endlich → Körper)
        (z.B. Oktonionen 𝕆)
        
        D GK - G - Fastkörper, Halbkörper mit 0, unitärer Ring (endlich → Körper)
        (z.B. Quaternionen ℍ, rationale Quaternionen)
        
        D GK - GK - kommutativer Halbkörper mit 0, Integritätsring
        (z.B. p-adischen Zahlen ℚ_p, berechenbare Zahlen, definierbare Zahlen)
        
        + Obermenge eines Integritätsrings (z.B. ℚ = quot(ℤ))
        
        + Quotientenkörper eines Polynomringe K[X] über einem Körper K, Körpererweiterung K(X)/K ist rein transzendent und damit insbesondere unendlich
        
        + K ⊊ M ⊊ L - Transzendenzgrad trdeg(L:K) > 0 → Erweiterungsgrad deg(L:K) = ∞ - trdeg(L:K) = trdeg(L:M) + trdeg(M:K) - deg(L:K) = deg(L:M) * deg(M:K)
        
        + Restklassenring - R/m Faktorring eines Rings R mit maximalen Ideal m (z.B. endlich und prim 𝔽_p = ℤ/pℤ, R lokaler Ring mit nur einem m → R/m eindeutig)
        
        + z.B. trdeg(ℚ(√-3,e) : ℚ) = 1, trdeg(ℂ : ℚ) = trdeg(ℝ : ℚ) = ℶ₁, (z.B. ℂ = ℝ(i))
        
        + z.B. trdeg(ℚ(π,e) : ℚ) = 1 oder 2 - algebraische Unabhängigkeit von π und e ist unbekannt
        
        + endlicher Transzendenzgrad
        
        + wird von einem einzelnen Element erzeugt (z.B. ℚ(X)/ℚ, 𝔽₅(X)/𝔽₅(X⁵), ℚ(³√2,e^2πi/3)/ℚ, ℚ(⁴√2)/ℚ) (algebraisch → endlich)
        
        + alle Minimalpolynome über K von Elementen aus L in L zerfallen vollständig in Linearfaktoren (z.B. 𝔽₅(X)/𝔽₅(X⁵), 𝔽₅(X/Y)/𝔽₅(X⁵,Y⁵), A/𝔽₅(X⁵))
        
        + jedes nicht konstante Polynom ∈ K[X] besitzt einen bis auf Isomorphie eindeutigen (minimalen) Zerfällungskörper (z.B. X³ - 2 ∈ ℚ[X] hat ℚ(³√2,e^2πi/3))
        
        + jedes Element von L ist algebraisch über K - (algebraisch abgeschlossen ↔ jedes Polynom aus K[x] \ K hat eine Nullstelle in K)
        
        + jedes Element von L ist separabel über K, d.h. sein Minimalpolynom über K ist separabel (z.B. ℚ(⁴√2)/ℚ, ℚ({ⁿ√2 | n ∈ ℕ})/ℚ)
        
        + normal - Fixkörper der K-Automorphismengruppe (Galoisgruppe des Erweiterungskörpers) ist gleich K - (z.B. ℚ(³√2,e^2πi/3)/ℚ, 𝔸/ℚ)
        
        + Galoisgruppe ist abelsch - z.B. alle algebraischen Erweiterungen endlicher Körper
        
        + Galoisgruppe ist zyklisch - können durch Wurzelziehen gewonnen werden, sofern L genügend Einheitswurzeln enthält
        
        + endliche algebraische Erweiterungen von ℚ - Charakteristik 0
        (z.B. 𝔸 nicht, da unendliche Erweiterung von ℚ)
        
        + n > 2 - entsteht durch Adjunktion der Menge aller n-ten Einheitswurzeln - ℚ(μ_n)/ℚ ist galoissch (Galoisgruppe ist isomorph zu (ℤ/nℤ)^x)
        
        + quadratische Erweiterung von ℚ - z ist eine von 0 und 1 verschiedene quadratfreie ganze Zahl
        
        + z > 1
        
        + z < 0
        (z.B. gaußsche rationale Zahlen ℚ(i))
        
        + kleinster Teilkörper eines Körpers - Charakteristik 0 → isomorph zu ℚ → immer unendlich, prim → isomorph zu 𝔽_p
        
        + hat endliche Anzahl von Elementen (z.B. 𝔽_p mit p² Elementen, ℤ/pℤ)
        
        + alle irreduziblen Polynome sind separabel, haben keine Mehrfachnullstellen in ihrem Zerfällungskörper, jede endliche oder algebraische Erweiterung ist separabel
        
        + algebraischer Zahlkörper ∨ Funktionenkörper positiver Charakteristik (über einem endlichen Körper) vom Transzendenzgrad 1
        
        + lokalkompakt, nicht diskret - Topologie lässt sich immer durch einen Betrag beschreiben - wie folgt vollständig klassifiziert:
        
        + isomorph zu ℝ ∨ ℂ - Charakteristik 0
        
        + Vervollständigungen von globalen Körpern
        
        + isomorph zu endlicher Körpererweiterung der p-adischen Zahlen ℚ_p
        
        + isomorph zum Körper der formalen Laurent-Reihen F((t)), wobei F ein endlicher Körper der Charakteristik p und t eine formale Variable ist
        
        + -1 lässt sich nicht als endliche Summe von Quadraten schreiben
        
        + totale Ordnung
        (z.B. rationale Zahlen ℚ, Klasse der surreale Zahlen)
        
        + Summe von zwei Quadratzahlen ist eine Quadratzahl (hat Quadratwurzel)
        (z.B. komplexe ℂ, algebraische Zahlen 𝔸)
        
        + formal reell - -1 ist keine Quadratzahl (hat keine Quadratwurzel)
        
        + geordnet - jedes Element von K\{0} ist entweder eine Quadratzahl oder das Negative einer Quadratzahl
        
        + K(i) ist algebraisch abgeschlossen, durch genau eine Ordnungsrelation ordenbar
        (z.B. hyperreelle Zahlen *ℝ)
        
        + Archimedisches Axiom
        (z.B. konstruierbare Zahlen)
        
        + reell abgeschlossen
        (z.B. reelle ℝ, reell algebraische Zahlen)

-------------------------------------------- Moduln / Vektorräume ---------------------------------------------------------------------------------------------------------

G-(Links|Rechts)modul
(Links|Rechts)modul
Modul
unitärer Modul
artinscher Modul
Vektorraum V
Matrizenraum

Faktor-/Quotientenraum
Komplementär-/Orthogonalraum

Gruppenverknüpfung (G) und (linke|rechte) äußere zweistellige Verknüpfung (AD) über einer abelschen Gruppe

+ Vektoraddition (GK) und (linke|rechte) Skalarmultiplikation (AD) über einem nicht (unbedingt) kommutativen Ring mit 1
- + linke+rechte Skalarmultiplikation über einem kommutativen Ring mit 1 (endlich → artinsch, hat Basis → frei → projektiv)
  - + das neutrale Element der Ring-Multiplikation ist gleichzeitig das neutrale Element der Skalarmultiplikation
  - + jede absteigende Folge von Untermodulen wird stationär
  - + über einem Körper - (über ℝ oder ℂ mit Skalarprodukt → Prähilbertraum)
    - + isomorph zum Raum linearer Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen -
      ((n x n)-Matrizen + Matrizenmultiplikation → assoziative Algebra, über ℝ oder ℂ mit Skalarprodukt → Hilbertraum)
    - + Bild einer Parallelprojektion entlang eines Untervektorraumes, Menge aller Äquivalenzklassen V/U von V nach U
    - + schneidet einen vorgegebenen Unterraum von V nur im Nullpunkt so dass U ∩ W = {0} und U + W = V

-------------------------------------------- Algebren ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

lineare Algebra

Lie-Algebra g
abelsche Lie-Algebra
nilpotente Lie-Algebra
auflösbare Lie-Algebra
einfache Lie-Algebra
halbeinfache Lie-Algebra
allgemeine lineare Lie-Algebra

R-Algebra
Koalgebra
unitäre Algebra
assoziative Algebra
kommutative Algebra
genetische Algebra
K-Algebra

lineare Abbildungen zwischen im allgemeinen zwei Vektorräumen über demselben Körper oder lineares Gleichungssystem über diesem

Vektorraum zusammen mit innerer Verknüpfung (Lie-Klammer) bilinear, Jacobi-Identität, [x, x] = 0 → antisymmetrisch, Flex (z.B. ℝ³ + Kreuzprodukt)

+ Lie-Klammer [x,x] = {N}
+ absteigende Zentralreihe Cⁿ⁺¹ = [g,Cⁿg] endet bei {N}
+ abgeleitete Reihe Dⁿ⁺¹ = [Dⁿg,Dⁿg] endet bei {N}
+ hat kein nicht-triviales Ideal und ist nicht-abelsch
+ direkte Summe einfacher Ideale (Unteralgebren) bzw. einfacher Lie-Algebren
+ linear - Kommutator [x, y] = xy - yx, (Algebra-)Multiplikation [x, x] = [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0

Algebra über einem kommutative Ring - bilineare "Multiplikation" - jeder kommutative Ring ist eine R-Algebra über sich selbst (z.B. Polynomringe R[X])

+ zu einer Algebra duale Struktur
+ mit einem neutralen Element der "Multiplikation"
+ "Multiplikation" ist assoziativ (z.B. ℂ über ℝ, ℍ über ℝ) (Kommutator [x, y] = xy - yx → Lie-Algebra)
+ "Multiplikation" ist kommutativ
- + zur mathematischen Modellierung von Vererbungen in der Genetik
+ Algebra über einem Körper

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------- topologische Räume ------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Topologie eines top. Raumes (X, T)
triviale Topologie
co-endliche Topologie
co-abzählbare Topologie
diskrete Topologie
Initialtopologie
Teilraumtopologie
Produkttopologie
schwache Topologie
Finaltopologie
Summentopologie
Quotiententopologie
Zariski-Topologie

Grothendieck-Topologie
algebraische Topologie
geometrische Topologie
Differentialtopologie

Abgeschlossene Hülle (Abschluss)
offener Kern (Inneres)
innerer Punkt x von Y
Umgebung Y von x
Umgebung Y einer Menge A ⊆ Y
alle offenen Umgebung von x ∈ X

Topologie T ist Teilmenge der Potenzmenge P(X)

gröbste Topologie {Ø, X}
{X \ Y: Y ⊆ X, Y endlich} v {Ø}
{X \ Y: Y ⊆ X, Y abzählbar} v {Ø}
feinste Topologie P(X)
die gröbste Topologie auf einer Menge X, die diese Familie von Abbildungen aus X in andere topologische Räume stetig macht
- auf der Teilmenge bezüglich der natürlichen Inklusionsabbildung
- bezüglich der natürlichen Projektionen auf die Faktorräume
- auf einem normierten Vektorraum E bezüglich der stetigen Linearformen auf E
die feinste Topologie auf einer Menge X, die diese Familie von Abbildungen aus anderen topologischen Räumen nach X stetig macht
- einer Familie X_i von topologischen Räumen auf der disjunkten Vereinigungsmenge der Familie bezüglich der kanonischen Inklusionsabbildungen
- bezüglich der kanonischen Projektion auf den Quotientenraum
natürliche Topologie auf den algebraischen Varietäten oder allgemeiner den Schemata - quasikompakte Teilmengen müssen nicht notwendigerweise abgeschlossen sein
(z.B. koendlichen Mengen auf der affinen Geraden)
erlaubt, in einem abstrakten kategoriellen Rahmen eine Garbentheorie und eine Kohomologietheorie zu entwickeln
untersucht Lagebeziehungen im Raum wie z.B. in der Knotentheorie mit Hilfe von algebraischen Strukturen
beschäftigt sich mit Mannigfaltigkeiten und deren Einbettungen
beschäftigt sich größtenteils mit differenzierbaren Strukturen, mit der Morse-Theorie als natürlicher Technik

Y^ von Y ⊆ X, ∩{A ∈ T: Y ⊆ A} (Y^ ist die kleinste abgeschlossene Obermenge von Y)
Y° von Y ⊆ X, ∪{U ∈ T: U ⊆ Y} (Y° ist die größte offene Teilmenge von Y)

x ∈ Y°
x ist innerer Punkt von Y
A ⊆ Y° bzw. Y ist Umgebung aller x ∈ A
T(x) := {U ∈ T: x ∈ U}

x ∈ ℚ mit 0 < x < 1 ist offene Menge in ℚ in ℝ nicht
[0,1) und [1,2] disjunkt aber nicht getrennt/separiert, da Schnitt [0,1] ∩ [1,2] = {1}
[0,1) und (1,2] disjunkt und getrennt/separiert, da Schnitt [0,1] ∩ (1,2] = [0,1) ∩ [1,2] = Ø
topologischer Raum X ist zusammenhängend
↔ X ist summen-unzerlegbar
↔ X ist nicht Vereinigung zweier disjunkter offener bzw. abgeschlossener nichtleere Teilmengen
↔ die einzigen abgeschlossenen offenen Teilmengen sind die leere Menge und X
↔ X kann nicht in zwei nichtleere separierte Teilmengen zerlegt werden
↔ jede stetige Abbildung von X in einen diskreten Raum ist konstant
↔ es gibt keine stetige Surjektion von X auf den diskreten Raum 2

topologischer Raum
zusammenhängender Raum
wegzusammenhängender Raum
einfach zusammenhängender Raum
zusammenziehbarer Raum
lokal zusammenhängender Raum
lokal wegzusammenhängender Raum
semilokal einfach zusammenhängender Raum
lokal einfach zusammenhängender Raum
total unzusammenhängender Raum

(X, T)
- + kann nicht in zwei disjunkte nichtleere offene bzw. abgeschlossene Mengen zerlegt werden
  - + alle paarweise verschiedenen Punkte sind über einen Weg verbunden (0-zusammenhängend)
    - + jeder geschlossene Weg lässt sich auf einen Punkt zusammenziehen, nullhomotop (z.B. n-Sphären mit festem Radius)
      - + ist homotopieäquivalent zu einem Punkt (Gegenbeispiel: n-Sphären mit festem Radius)
- + es gibt zu jeder Umgebung eines Punktes eine zusammenhängende kleinere Umgebung dieses Punktes
  - + jeder Punkt besitzt eine lokale Umgebungsbasis bestehend aus wegzusammenhängenden Mengen (zusammenhängend → wegzusammenhängend)
    - + jeder Punkt besitzt eine Umgebung U, so dass sich jede Schleife in U im Raum zusammenziehen lässt
      - + jede Umgebung eines Punktes enthält eine evtl. kleinere, einfach zusammenhängende Umgebung
- + es gibt neben der leeren und den einelementigen Teilmengen keine weiteren zusammenhängenden Teilmengen

topologischer Raum
R0-Raum (R0)
präregulärer Raum (R1)
regulärer Raum
Kolmogoroff-Raum (T0)
T1-Raum (T1)
normaler Raum
vollständig normaler Raum
perfekt normaler Raum
Hausdorff-Raum (T2)
Urysohn-Raum (T2½)
vollständiger Hausdorff-Raum
regulärer Hausdorff-Raum (T3)
Tichonow-Raum (uniformisierbar) (T3½)
Niemytzki-Raum
Sorgenfrey-Ebene
normaler Hausdorff-Raum (T4)
vollständig normaler Hausdorff-Raum (T5)
perfekt normaler Hausdorff-Raum
binormaler Raum

(X, T)
- + je zwei (topologisch) unterscheidbare Punkte sind getrennt
  - + zwei unterscheidbare Punkte sind durch offene Umgebungen getrennt (lokalkompakt → T3½, kompakt → T4 (normal))
    - + jeder Punkt x ist von jeder abgeschlossenen Menge F, die x nicht enthält, durch Umgebungen getrennt (T0 → T3)
- + alle paarweise verschiedenen Punkte sind topologisch unterscheidbar
  - + R0 - je zwei verschiedene Punkte sind getrennt, jede einelementige Menge ist abgeschlossen
    - + zwei abgeschlossene disjunkte Mengen haben disjunkte offene Umgebungen, dim(X) ≤ Ind(X) (dim(X)=0 ↔ Ind(X)=0 → ind(X)=0)
      - + zwei getrennte Mengen sind immer durch Umgebungen getrennt
      - + zwei disjunkte abgeschlossene Mengen sind scharf durch eine Funktion getrennt
    - + R1 - je zwei verschiedene Punkte sind durch offene Umgebungen getrennt (A2 → (regulär ↔ vollständig regulär ↔ normal ↔ metrisierbar))
      - + je zwei verschiedene Punkte sind durch abgeschlossene Mengen getrennt
        
        + zwei verschiedene Punkte sind durch eine Funktion getrennt
        
        + regulär (z.B. Mysior-Ebene (nicht T3½))
        
        + vollständiger Hausdorff-Raum - besitzt hinreichend viele stetige Funktionen, um abgeschlossene Mengen von außerhalb liegenden Punkten zu trennen
        
        + separabel, A1 - besitzt nicht-separablen Teilraum, nicht A2, nicht normal, nicht lokalkompakt
        
        + separabel, A1, total unzusammenhängend - besitzt nicht-separablen Teilraum, nicht A2, nicht normal, nicht diskret, nicht metrisierbar
        
        + normal
        
        + vollständig normal
        
        + perfekt normal
        
        + abzählbar parakompakt - jede höchstens abzählbare offene Überdeckung besitzt eine lokalendliche Verfeinerung

topologischer Raum
homogener Raum
uniformer Raum
präkompakter Raum
vollständig uniformer Raum
pseudometrischer Raum
prämetrischer Raum
quasimetrischer Raum
null-dimensionaler Raum
allgemeiner Baire-Raum
lokalkompakter Raum
lokalkompakter Hausdorff-Raum
separabler Raum
Lindelöf-Raum
σ-kompakter Raum
erstabzählbarer Raum (A1)
zweitabzählbarer Raum (A2)
abzählbar kompakter Raum
folgenkompakter Raum
parakompakter Raum
(quasi)kompakter Raum
noetherscher Raum
endlicher Raum
parakompakter Hausdorff-Raum
kompakter Hausdorff-Raum
Stone-Raum (boolescher Raum)
metrisierbarer Raum
ultrametrisierbarer Raum
vollständig metrisierbarer Raum
polnischer Raum
effektiver polnischer Raum
perfekter polnischer Raum
spezieller Baire-Raum
Cantor-Raum
metrischer Raum
totalbeschränkter Raum
kompakter metrischer Raum
ultrametrischer Raum
diskreter Raum
abzählbar unendlicher diskreter Raum
endlicher diskreter Raum
vollständiger Raum
geodätischer metrischer Raum

(X, T)
- + Raum mit einer transitiven Gruppenwirkung - sieht in jedem Punkt gleich aus
- + T3½ - uniforme Struktur, die erlaubt Umgebungen an verschiedenen Punkten miteinander zu vergleichen
  - + jedes Netz besitzt ein Teilnetz, das ein Cauchynetz ist
  - + vollständig - jeder Cauchyfilter bzw. jedes Cauchynetz konvergiert und äquivalente Cauchynetze haben denselben Grenzwert
  - + normal - Symmetrie und Dreiecksungleichung (separabel → A2)
  - + Nicht-Negativität einer Metrik (Abstandsfunktion) und positive Definitheit
    - + Dreiecksungleichung
- + (Hausdorff-Raum → total unzusammenhängend, kompakter Hausdorff-Raum → (dim(X)=0 ↔ Ind(X)=0 ↔ ind(X)=0 ↔ total unzusammenhängend))
- + Durchschnitt abzählbar vieler offener, dichter Teilmengen ist dicht
- + jede Umgebung eines jeden Punktes enthält eine kompakte Umgebung (metrisch ∧ abzählbar unendlich → polnisch, total unzusammenhängend → null-dimensional)
  - + T3½, allgemeiner Baire-Raum - sind genau die offenen Unterräume kompakter Hausdorff-Räume
- + eine höchstens abzählbare Teilmenge liegt dicht in diesem Raum
  - + jede offene Überdeckung besitzt eine höchstens abzählbare Teilüberdeckung (regulär → normal ∧ parakompakt)
    - + abzählbare Vereinigung kompakter Teilräume
- + jeder Punkt hat eine höchstens abzählbare Umgebungsbasis
  - + Lindelöf-Raum - hat eine höchstens abzählbare Basis der Topologie, jede Teilmenge ist zweitabzählbar
- + jede abzählbar offene Überdeckung besitzt eine endliche Teilüberdeckung - (A1 → folgenkompakt, metrisch → kompakt)
  - + jede Folge von Punkten in X hat eine konvergente Teilfolge, die zu einem Punkt in X konvergiert
- + jede offene Überdeckung besitzt eine lokal endliche offene Verfeinerung, abgeschlossene Unterräume sind parakompakt
  - + σ-kompakt, abzählbar kompakt - jede offene Überdeckung besitzt eine endliche Teilüberdeckung
    - + jede aufsteigende Kette offener Mengen wird stationär
    - + endlich
  - + T4 (normal)
    - + kompakt, lokalkompakt, uniform - (zusammenhängend ↔ Kontinuum z.B. Hilbertwürfel) (A2 → polnisch)
      - + total unzusammenhängend, null-dimensional - ist dual zur booleschen Algebra der offenen-abgeschlossenen Mengen
    - + A1 - ist homöomorph zu einem metrischen Raum, dim(X) = Ind(X) (separabel → A2, kompakt → polnisch)
      - + total unzusammenhängend
      - + vollständig, allgemeiner Baire-Raum - ist homöomorph zu einem vollständigen Raum
        
        + A2 - hat abzählbare Basis, abgeschlossene Unterräume sind polnisch
        
        + besitzt eine berechenbare Repräsentation
        
        + perfekte Menge - es gibt keine isolierten Punkte
        
        + ultrametrisierbar, allgemeiner Baire-Raum
        
        + ultrametrisierbar, Stone-Raum - Raum aller Folgen auf der Menge {0,1}, ist homöomorph zur Cantor-Menge
      - + quasimetrisch, Symmetrie - zuordenbare Hausdorff-Dimension (separabel → A2)
        
        + jede Folge besitzt eine Teilfolge, die eine Cauchy-Folge ist - (vollständig ↔ kompakt)
        
        + kompakt, folgenkompakt, polnisch - (zusammenhängend ↔ metrisches Kontinuum z.B. [0,1] ⊂ ℝ)
        
        + ultrametrisierbarer Raum - verschärfte Dreiecksungleichung (gleichseitig oder gleichschenklig mit kürzerer Basis)
        
        + lokalkompakt, total unzusammenhängend, null-dimensional - alle Punkte sind isoliert, für jeden Punkt x ist die Menge {x} offen
        
        + polnisch, abzählbar unendlich
        
        + kompakt, endlich
        
        + jede Cauchy-Folge konvergiert
        
        + zu je zwei Punkten gibt es eine kürzeste Verbindungskurve

------------------------------------------------ Mannigfaltigkeiten ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mannigfaltigkeit
differenzierbare Mannigfaltigkeit
exotischer 4-Raum
glatte Mannigfaltigkeit
fastkomplexe Mannigfaltigkeit
komplexe Mannigfaltigkeit
pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit
einsteinsche Mannigfaltigkeit
lorentzsche Mannigfaltigkeit
Minkowski-Raum
riemannsche Mannigfaltigkeit
riemannscher homogener Raum
vollständige riemannsche Mannigfaltigkeit
flache Mannigfaltigkeit
hyperbolische Mannigfaltigkeit
symmetrischer Raum

ℝ¹
hyperbolischer Raum
komplex-hyperbolischer Raum
quaternionisch-hyperbolischer Raum
Cayley-hyperbolische Ebene

Sphäre
reell-projektiven Räume
komplex-projektiven Räume
quaternionisch-projektiven Räume
Cayley-projektive Ebene

metrisierbarer Raum, A2, lokal wegzusammenhängend - ist lokal homöomorph zum euklidischen Raum ℝⁿ (endlichdimensional → lokalkompakt)
- + differenzierbar - lokal diffeomorph zum euklidischen Raum ℝⁿ (dim≠4 → (homöomorph zu ℝⁿ → diffeomorph zu ℝⁿ))
  - + dim=4 - ¬(homöomorph zu ℝⁿ → diffeomorph zu ℝⁿ)
  - + glatte Struktur (beliebig oft differenzierbar)
    - + fastkomplexe Struktur - (komplex-eindimensional → riemannsche Fläche)
      - + komplexe Struktur - mit Modellraum ℂⁿ, Kartenwechselhomöomorphismen sind biholomorph
  - + mit pseudo-riemannsche Metrik
    - + mit Einsteinmetrik (Ricci-Tensor)
    - + mit lorentzscher Metrik - Signatur (1,n,0)
      - + Signatur (1,3,0) - vierdimensionaler Raum der speziellen Relativitätstheorie und der allgemeinen Relativitätstheorie (Raum-Zeit-Kontinuum)
    - + endlichdimensional - mit metrischem Tensor - kann als metrischer Räume verstanden werden
      - + zusammenhängend, homogen - sieht in allen Punkten gleich aus - M = G / H für eine Lie-Gruppe G und eine kompakte Untergruppe H ⊂ G
        
        + vollständig, glatt - geodätisch vollständig, jede abgeschlossene und beschränkte Teilmenge ist kompakt (endlicher Durchmesser → kompakt)
        
        + der Krümmungstensor verschwindet - lokal isometrisch zum euklidischen Raum (einfach zusammenhängend → euklidisch)
        
        + Schnittkrümmung konstant -1
        
        + zu jedem x ∈ M gibt es eine Spiegelung an x
        
        + Rang 1 (Dimension eines maximalen Unterraumes, auf dem die Schnittkrümmung verschwindet)
        
        + einzige nichtkompakte
        
        +
        
        + einfach zusammenhängend, vollständig - SO(n,1)/SO(n) - mit Schnittkrümmung konstant -1
        
        + SU(n,1)/SU(n) - Schnittkrümmung nicht konstant -4 ≤ K ≤ -1
        
        + Sp(n,1)/Sp(n) - Schnittkrümmung nicht konstant -4 ≤ K ≤ -1
        
        + F₄^-20/Spin(9)
        
        + einzige kompakte
        
        +
        
        +
        
        +
        
        +
        
        +

------------------------------------------------ algebraische Geometrie ----------------------------------------------------------------------------------------------------

algebraische Varietät
komplexe Varietät
affine Varietät
projektive Varietät
abelsche Varietät
algebraische Kurve
elliptische Kurve
riemannsche Fläche
riemannsche Zahlenkugel
algebraische Fläche
Danielewski-Fläche

geometrisches Objekt, das durch Polynomgleichungen über einem algebraisch abgeschlossenen Körper beschrieben werden kann
- + komplex - (keine Singularitäten → komplexe Mannigfaltigkeit)
- + irreduzible affine algebraische Menge (Teilmenge eines affinen Raumes)
- + homogene Polynome - irreduzible projektive algebraische Menge (Teilmenge eines projektiven Raumes)
- + algebraische Gruppe, vollständig, zusammenhängend - Gruppenvarietät
- + eindimensional
  - + abelsche Varietät, glatt - Ordnung 3 in der projektiven Ebene
  - + komplexe Mannigfaltigkeit, wegzusammenhängend - komplex-eindimensional (kompakt → biholomorph zu einer glatten komplexen projektiven Varietät)
    - + kompakt, einfach zusammenhängend - Kompaktifizierung der komplexen Ebene durch Hinzunahme eines Punktes in der Unendlichkeit
- + zweidimensional
  - + algebraisch isomorph zu einer Hyperfläche S ⊂ ℂ³, die als Nullstellenmenge eines Polynoms xⁿ ⋅ y − p(z) ∈ ℂ[x,y,z] definiert ist, wobei p ∈ ℂ[z] ein Polynom in einer Variablen ist.
  - (n = 1, p(z) = z → isomorph zu ℂ²) (p hat nur einfache Nullstellen → keine Singularitäten → komplexe Mannigfaltigkeit)

------------------------------------------------ topologische Strukturen ---------------------------------------------------------------------------------------------------

topologische Gruppe
kompakte Gruppe
proendliche Gruppe
Galoisgruppe
algebraische Gruppe
Lie-Gruppe
euklidische Bewegungsgruppe E(n)
orthogonale Gruppe O(n)
Drehgruppe SO(n)
Kreisgruppe SO(2)
Drehspiegelungen O(n) \ SO(n)
unitäre Gruppe U(n)
spezielle unitäre Gruppe SU(n)
halbeinfache Lie-Gruppe
einfache Lie-Gruppe
außergewöhnliche einfache Lie-Gruppe
symplektische Gruppe Sp(n)
allgemeine lineare Gruppe GL(n,K)
spezielle lineare Gruppe SL(n,K)
projektive lineare Gruppe PGL(n,V)
spezielle projektive Gruppe PSL(n,K)
projektive orthogonale Gruppe PO(n)
projektive spezielle ortho. Gruppe PSO(n)
projektive unitäre Gruppe PU(n)
projektive spezielle unitäre Gruppe PSU(n)

topologischer Ring
topologischer Körper

stetige Gruppe

+ kompakt
- + Hausdorffsch, total unzusammenhängend - proendliche Vervollständigung einer Gruppe (z.B. ganze p-adische Zahlen ℤ_p, proendliche Zahlen)
  - + Symmetriegruppe einer algebraischen Gleichung bzw. K-Automorphismengruppe Aut⁡(L/K) eines galoisschen Erweiterungskörpers
+ über algebraischen Varietäten über einem Körper - (z.B. GL(n,K) Gruppe der invertierbaren n×n-Matrizen)
+ glatte Mannigfaltigkeit - zur Beschreibung von kontinuierlichen Symmetrien - hat assoziierbare Lie-Algebra (bi-invarianten Metrik → symmetrisch)
- + Kongruenzabbildungen im euklidischen Raum - (Punkt-, Achsen-, Ebenen-)Spiegelung, Drehung, Translation, Gleitspiegelung, Schraubung und Drehspiegelung
- + kompakt, Symmetriegruppe, orthogonale n × n Matrizen - über reellem n-dimensionalen euklidischen Vektorraum - Dimension n(n-1)/2 - Untergruppe von GL(n,ℝ)
  - + det = 1 - maximal kompakte Untergruppe von SL(n,ℝ)
    - + n =2
  - + det = -1
- + unitäre n × n Matrizen - über komplexem n-dimensionalen Hilbertraum - Dimension n² - Untergruppe von GL(n,ℂ)
  - + det = 1, kompakt, einfach - Dimension n²-1 - Zentrum Z isomorph zu C_n - maximal kompakte Untergruppe von SL(n,ℂ)
- + zusammenhängend - direktes Produkt endlich vieler einfacher Lie-Gruppen - es gibt keine nicht-trivialen auflösbaren oder abelschen Untergruppen
  - + einfach - (z.B. SL(n,ℝ), SL(n,ℂ), SO(n), SU(n), A_n, B_n, C_n, D_n)
    - + G₂, F₄, E₆, E₇, E₈
    - + kompakt, einfach zusammenhängend - (invertierbare) lineare Abbildungen auf n-dimensionalem quaternionischen Vektorraum - Dimension n(2n+1)
+ Gruppe der regulären (n x n)-Matrizen über einem Körper K, GL(n,2) ≅ PGL(n,2) ≅ PSL(n,2) (über ℝ oder ℂ → Lie-Gruppe)
- + det = 1 - Quotientengruppe GL(n,K)/SL(n,K) ist Einheitengruppe von K - beinhaltet alle orientierungstreuen und volumenerhaltenden linearen Abbildungen
+ über einem Vektorraum V über K, ist Quotientengruppe GL(n,V)/Z(GL(n,V)) (z.B. Möbiustransformationen PGL(2,ℂ)) (über ℝ oder ℂ → Lie-Gruppe)
- + ist Quotientengruppe SL(n,K)/Z(SL(n,K)) - außer PSL(2,2) ≅ S₃und PSL(2,3) ≅ A₄ einfache Gruppen
+ ist Quotientengruppe O(n)/Z(O(n)) aus der orthogonalen Gruppe und ihrem Zentrum Z
- + ist Quotientengruppe SO(n)/Z(SO(n)) aus der speziellen orthogonalen Gruppe und ihrem Zentrum Z
+ ist Quotientengruppe U(n)/Z(U(n)) aus der unitäre Gruppe und ihrem Zentrum Z
- + ist Quotientengruppe SU(n)/Z(SU(n)) aus der speziellen unitäre Gruppe und ihrem Zentrum Z

Ring - Addition ist topologische Gruppe, Multiplikation ist in der gegebenen Topologie ebenfalls stetig

+ Körper - multiplikative Inversenbildung ist stetig

topologischer Vektorraum
lokalkonvexer Raum
metrisierbarer lokalkonvexer Raum
Fréchet-Raum
normierbarer Raum
normierter Raum
Banachraum
Sobolev-Raum
Hardy-Raum
Prähilbertraum (Skalarproduktraum)
Hilbertraum
euklidischer Raum
kompakter euklidischer Raum
unitärer Raum

topologische Algebra
lokalkonvexe Algebra
LMC-Algebra
Fréchet-Algebra
normierte Algebra
Banachalgebra
involutive Banachalgebra
C*-Algebra
von-Neumann-Algebra

Vektorraum, topologischer Raum - (T0 → T2)

+ jeder Punkt verfügt über beliebig kleine konvexe Umgebungen, jede Nullumgebung ist absolutkonvex und absorbierend
- + metrisierbar - hat abzählbare Nullumgebungsbasis
  - + vollständig - besitzt einer abzählbaren Nullumgebungsbasis
  - + es gibt eine beschränkte Nullumgebung
    - + metrisch - Norm (endlichdimensional über ℝ oder ℂ → lokalkompakt)
      - + Fréchet-Raum (vollständig)
        
        + Funktionenraum von schwach differenzierbaren Funktionen
        
        + Funktionenraum holomorpher Funktionen
      - + Skalarprodukt (K AD mit Skalarmultiplikation) (endlichdimensional → vollständig → Hilbertraum)
        
        + Banachraum (vollständig) - (endlichdimensional → euklidisch)
        
        + zusammenziehbar, differenzierbare Mannigfaltigkeit - reel (endlichdimensional → flache Mannigfaltigkeit)
        
        + abgeschlossen und beschränkt auf ℝⁿ
        
        + zusammenziehbar, komplexe Mannigfaltigkeit - komplex (endlichdimensional → flache Mannigfaltigkeit)

Addition, Multiplikation und skalare Multiplikation sind stetig

+ lokalkonvexer Raum
- + wird von einer Familie submultiplikativer Halbnormen definiert
  - + Fréchet-Raum (vollständig)
  - + normierter Raum
    - + Banachraum (vollständig), assoziative Algebra + submultiplikative Norm
      - + Involution mit den Eigenschaften involutiv, anti-multiplikativ, semilinear
        
        + C*-Eigenschaft → isometrische Involution
        
        + topologischer Dualraum eines Banachraumes

------------------------------------------------ Inzidenzstrukturen ---------------------------------------------------------------------------------------------------------

Inzidenzstruktur
einfache Inzidenzstruktur
ausgeartete Inzidenzstruktur
endliche Inzidenzstruktur
taktische Konfiguration
verallgemeinertes Viereck
Blockplan
affiner Blockplan
diskretes Netz
Wittscher Blockplan
Hadamard-3-Blockplan
symmetrischer Blockplan
Hadamard-2-Blockplan
Fano-Ebene

partieller linearer Raum
linearer Raum (Inzidenzraum)
endlicher linearer Raum
near pencil
projektiver Raum
projektive Ebene
Moufangebene
desargueschen projektive Ebene
pappossche projektive Ebene
endliche Moufangebene
schwach affiner Raum
affiner Raum (lineare Mannigfaltigkeit)
affine Ebene
präeuklidische Ebene
frei bewegliche Ebene
Moulton-Ebene
affine Translationsebene
endliche affine Translationsebene
desarguesche affine Ebene
pappossche affine Ebene
endliche desarguesche affine Ebene

(p, B, I) - Punktmenge p + Menge von Blöcken B bzw. Geraden + Inzidenzrelationen I
- + alle Blöcke sind durch die mit ihnen inzidierenden Punkte vollständig bestimmt
- + ein Block inzidiert mit |p| - 1 Punkten - nicht dual
- + je 1... m/n verschiedene Punkte/Blöcke inzidieren mit genau mindestens einen Block/Punkt - Dualitätsprinzip (z.B. ungerichteter Graph)
  - + Typ (m ≥ 1,n ≥ 1)
    - + jede Gerade enthält s ≥ 1 Punkte, durch jeder Punkt gehen t ≥ 1 Geraden, durch 2 Punkte geht höchstens eine Gerade
  - + t-(v, k, λ) - |p| = v, jeder Block inzidiert mit k Punkten, für t große Teilmengen von p existieren genau λ verschiedene inzidierende Blöcke
    - + eindeutig bestimmter Parallelismus (Äquivalenzrelation auf der Menge der Blöcke) Blöcke sind Hyperebenen eines affinen Raumes
      - + dim = 2
    - + 5-(12, 6, 1) und 5-(24, 8, 1) - ihre Automorphismengruppen und die ihrer Ableitungen sind die 5 Mathieu-Gruppen
    - + 3-(4n, 2n, n-1) - stark auflösbarer 3-Blockplan
    - + |B| = v - ist durch eine (v×v)-Matrix darstellbar
      - + 2-(4n-1, 2n-1, n-1) - erweiterbar zu einem Hadamard-3-Blockplan durch p' = p ∪ {∞}, B' = {b ∪ {∞} | b ∈ B} ∪ {p \ b | b ∈ B}
        
        + linearer Raum, projektive Ebene - 2-(7,3,1) - kleinster Hadamard-Blockplan, Minimalmodell einer projektiven bzw. als
        Ausschnitt einer affinen Ebene, jede projektive Ebene der Ordnung 2 ist isomorph, Automorphismengruppe PGL(3,2), GL(3,2)
- + durch 2 Punkte geht höchstens eine Gerade, auf jeder Geraden liegen mindestens 2 Punkte, besitzt mindestens 2 Geraden
  - + durch 2 Punkte geht genau eine Gerade
    - + endlich - verallgemeinert 2-(v, k, 1) (jede Gerade inzidiert mit k Punkten → 2-Blockplan) |p| ≤ |B| (|p| = |B| → projektiv ∨ ausgeartet)
      - + einfach, ausgeartet - eine Gerade besitzt |p| - 1 Punkte, ist zu seiner dualen Struktur isomorph
- + projektive Erweiterung eines affinen Raumes durch Hinzufügen von Fernpunkten (dim ≥ 2 → linear, dim ≥ 3 → desarguesch)
  - + dim = 2 - je zwei Geraden besitzen einen eindeutigen Schnittpunkt und je zwei Punkte eine eindeutige Verbindungsgerade (endlich → Blockplan)
    - + kleine Satz von Desargues - alle geschlitzten Ausschnitte sind zueinander isomorphe affine Ebenen, isomorph über Alternativkörper
      - + Satz von Desargues - isomorph zu einer projektiven Ebene über einem Schiefkörper
        
        + Satz von Pappos
        
        + Ebene P²(𝔽q) über einem endlichen Körper (Satz von Wedderburn)
- + n-dimensionaler Raum über einen Vektorraum mit Pfeilabbildung (Verschiebung) und Parallelität als Äquivalenzrelation (endlich, dim ≥ 2 → Blockplan)
  - + (dim ≥ 2 → linear, dim ≥ 3 → desarguesch)
    - + dim = 2 - disjunkte Geraden sind parallel - (endlich Ordnung n → (n+1,n)-diskretes Netz bzw. 2-(n²,n,1)-Blockplan)
      - + Koordinatenbereich ist ein Körper + Orthogonalitätsrelation
        
        + Winkelhalbierende existieren immer - Koordinatenbereich ist ein formal reeller pythagoreischer Körper
      - + Koordinatenbereich ist eine Kartesische Gruppe Lenz-Klasse II (endlich → affine Translationsebene)
      - + kleine Satz von Desargues - Koordinaten-Quasikörper, Translationsgruppe ist ein Modul über einem Schiefkörper S
        
        + endlich - (z.B. die einzige geschlitzte Ebene in der Lenz-Barlotti-Klasse IVa.3)
        
        + Satz von Desargues - Koordinaten-Schiefkörper ist isomorph zu S
        
        + Satz von Pappos - Koordinaten-Körper (wenigstens zwei Quadratklassen und Charakteristik nicht 2 → präeuklidisch)
        
        + Koordinaten aus einem endlichen Körper, Ordnung ist notwendig eine Primzahlpotenz

------------------------------------------------ Geometrien ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Geometrie
fraktale Geometrie
algebraische Geometrie
Differentialgeometrie
Riemannsche Geometrie
nichtkommutative Geometrie
Inzidenzgeometrie
endliche Geometrie
projektive Geometrie
affine Geometrie
Ähnlichkeitsgeometrie
absolute Geometrie
metrische absolute Geometrie
projektiv-metrische Geometrie
euklidischen Geometrie
nichteuklidische Geometrie
hyperbolische Geometrie
elliptische Geometrie
sphärische Geometrie

Teilgebiet der Mathematik
- + Mengen deren Hausdorff-Dimension größer ist als ihre Lebesgue’sche Überdeckungsdimension
- + zum Studium der Nullstellengebilde algebraischer Gleichungen
- + Analysis
  - + riemannsche Mannigfaltigkeit
- + nichtkommutative C*-Algebra
- + je 2 verschiedene Punkte inzidieren mit genau einer Gerade
  - + über einem endlichen Körper
  - + zwei Geraden in einer gemeinsamen Ebene besitzen immer einen Schnittpunkt
  - + zwei parallele Geraden verlaufen immer in einer gemeinsamen Ebene
    - + Ähnlichkeitsabbildung
  - + Anordnung, Kongruenz und Stetigkeit
    - + Metrik
      - + projektiv
    - + affin - Parallelenaxiom (Vektorraum → Euklidischer Raum)
    - + Parallelenaxiom gilt nicht
      - + zu einer Geraden g und einem Punkt P außerhalb von g gibt es mindestens zwei Geraden, die durch P gehen und zu g parallel sind
      - + zu einer Geraden g und einem Punkt P außerhalb von g existiert keine Gerade in der Ebene durch g und P, die g nicht schneidet
        
        + projektiv - Geometrie auf der Kugel

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------- Klassen / Mengen --------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Menge M
endliche Menge
Potenzmenge/-klasse P
transitive Menge/Klasse
Abschluss einer Menge
Ableitung einer Menge
Kondensation einer Menge
insichdichte Menge
perfekte Menge
separierte Menge
isolierte Menge
kompakte Menge
beschränkte Menge
gefilterte Menge
gerichtete Menge
Filter F
Filter in Verbänden
Hauptfilter
Primfilter
Ideal I
Ultrafilter
fixierte Ultrafilter
freie Ultrafilter
konvexe Menge
absorbierende Menge
ausgewogene Menge
absolutkonvexe Menge
projektive Menge
analytische Menge
borelsche Menge
algebraische Menge
offene Menge

abgeschlossene Menge

abgeschlossene offene Menge

Klasse die sich nicht selbst enthält z.B. ZF-Menge
- + hat endlich viele Elemente
- + Menge / Klasse aller Teilmengen, P(M) ist wiederum eine Menge und P(K) eine Klasse
  + x ∈ y ∧ y ∈ M → x ∈ M bzw. x ∈ M → x ⊂ M bzw. M ⊂ P(M)
- + Menge aller Berührpunkte p (in jeder Umgebung von p liegt mindestens ein Punkt aus M)
- + Menge aller Häufungspunkte p (in jeder Umgebung von p liegt mindestens ein Punkt q aus M und q ≠ p)
- + Menge aller Kondensationspunkte (ℵ1-Häufungspunkte) (polnischer Raum → cp(cp(M)) = cp(M))
- + ohne isolierte Punkte (ohne Nicht-Häufungspunkten)
  - + abgeschlossen (polnischer Raum → cp(M) = M)
- + insichdichter Kern (Vereinigung aller insichdichten Teilmengen bzw. Durchschnitt seiner Ableitungen) ist leer
  - + besteht nur aus isolierten Punkten (keine Häufungspunkte)
- + jedes Netz besitzt ein konvergentes Teilnetz
- + hat obere oder untere Schrank
- + Quasiordnung bei der jede endliche Teilmenge eine untere Schranke hat (Totalordnung → Infimum-Halbverband)
- + Quasiordnung bei der jede endliche Teilmenge eine obere Schranke hat (Totalordnung → Supremum-Halbverband)
  - + nach unten gerichtete Oberhalb-Menge einer halbgeordneten Menge
    - + ist Oberhalb-Menge und abgeschlossen unter endlichen Infima
      - + kleinster Filter, der ein vorgegebenes Element p enthält
      - + a ∨ b ∈ F ↔ (a ∈ F oder b ∈ F)
      - + für alle a ∈ Ideal und b ∈ Verband ist a ∧ b ∈ I
    - + Mengenfilter, zu denen keine echte Verfeinerung existiert (Topologie: jeder Ultrafilter konvergiert ↔ kompakt)
      - + auf endlichen Mengen - bestehen aus allen Teilmengen, die einen bestimmten Punkt enthalten
      - + Schnittmenge aller ihrer Elemente ist die leere Menge
- + für je zwei beliebige Punkte, liegt auch stets deren Verbindungsstrecke ganz in der Menge (linear geordnet → a,b ∈ M → [a,b] ⊂ M)
- + Teilmenge T eines reellen oder komplexen Vektorraumes mit x ∈ V gibt es r > 0 so dass x ∈ αT ist für alle |α|>r
- + Teilmenge T eines reellen oder komplexen Vektorraumes mit x ∈ T und r mit |r|<1 → rx ∈ T (Nullumgebungsbasis)
  - + konvex
- + mittels stetiger Funktion erzeugbar
  - + stetige Bilder polnischer Räume - abzählbare Vereinigungen und Durchschnitte sind wieder analytisch (Kontinuumshyp. beweisbar)
    - + {x: x ∈ borelscher σ-Algebra} gebildet aus abzählbaren Vereinigungen oder Durchschnitten offener Mengen
- + Lösungsmenge eines Systems von Polynomgleichungen
- + die Umgebung jeder Punktes gehört noch ganz zur Menge (z.B. Vereinigung > geschachtelter abgeschlossener Mengen,
  Durchschnitt endlich vieler offener Mengen, Vereinigung beliebig (auch unendlich) vieler offener Mengen)
- + jeder ihrer Häufungspunkte gehört zur Menge (z.B. Durchschnitt < geschachtelter offener Mengen, Vereinigung endlich
  vieler abgeschlossener Mengen, Durchschnitt beliebig (auch unendlich) vieler abgeschlossener Mengen)
  - + offene Menge (z.B. leere Menge, jede Teilmenge eines diskreten Raumes)

------------------------------------------------ Graphen / Mengensysteme ------------------------------------------------------------------------------------------------

Graph
unendlicher Graph
Multigraph
zusammenhängender Graph
(normaler) Graph
ungerichteter Graph
einfacher Graph
vollständigen Graph
ungerichteter Baum
gerichteter Graph (Digraph)
einfacher (schlichter) Digraph
gerichteter azyklischer Graph
gewurzelter Baum (Wurzelbaum)
geordneter (planarer) Baum
ebener Graph
planarer Graph
Mengensystem (Hypergraph)
monotone Klasse
Dynkin-System
Mengenhalbring
Mengenhalbalgebra
Mengenverband
Mengenring
σ-Ring
Mengenalgebra
σ -Algebra
kleinste mögliche σ-Algebra
größte mögliche σ-Algebra
borelsche σ-Algebra

abstrakte Struktur in der Knoten V durch Kanten verbunden werden
- + V ist unendlich
- + mit Mehrfachkanten (Knoten können durch mehrere Kanten verbunden sein)
- + alle Knoten sind paarweise durch eine Kantenfolge verbunden
  - + Kanten verbinden genau zwei Knoten
    - + ohne Mehrfachkanten eine Teilmenge aller 2-elementigen Teilmengen von V
      - + ohne Schleifen
        
        + jeder Knoten ist mit jedem anderen Knoten durch eine Kante verbunden K₁ bis K₄ sind planar
        
        + die Anzahl der Knoten ist um 1 größer als die Anzahl der Kanten ↔ haben keinen Kreis ↔ Knotenpaare verbindet genau ein Pfad
    - + ohne Mehrfachkanten eine Teilmenge aller Paare (i, j) die durch das kartesische Produkt V × V entstehen
      - + ohne Schleifen
        
        + haben keinen gerichteten Kreis (Zyklus)
        
        + hat genau eine Wurzel zu der (In-Tree) bzw. von der (Out-Tree) alle Knoten durch genau einen gerichteten Pfad erreichbar sind
        
        + planar - für die Söhne jedes Knotens ist eine lineare Ordnung definiert
    - + Darstellung eines Graphen als Teilmenge des ℝ²
      - + keine Kanten schneiden sich
  - + Teilmenge der Potenzmenge einer Grundmenge Ω (Kanten können mehr als zwei Knoten verbinden)
    - + abgeschlossen bezüglich des Limes jeder monoton auf- oder absteigenden Mengenfolge
      - + abgeschlossen bezüglich Komplementbildung und abzählbarer Vereinigung paarweise disjunkter Mengen (enthält Ω)
    - + abgeschlossen bezüglich Durchschnitt und endlicher Vereinigung paarweise disjunkter Mengen und nicht leere
      - + enthält Ω
      - + abgeschlossen bezüglich endlicher Vereinigung
        
        + abgeschlossen bezüglich Differenz
        
        + monotone Klasse - abgeschlossen bezüglich abzählbarer Vereinigung
        
        + Mengenhalbalgebra - abgeschlossen bezüglich Komplementbildung
        
        + σ-Ring, Dynkin-System
        
        + {Ø, Ω} - {Ø, A, A^C, Ω} kleinste σ-Algebra, die A enthält
        
        + P(Ω)
        
        + kleinste σ-Algebra, die alle offenen Teilmengen eines topologischen Raumes Ω enthält

messbarer Raum (Messraum)
Lebesgue-Räu me

(Ω, A) - σ-Algebra A aus messbaren Mengen bzw. Teilmengen von Ω
- +

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------- Relationen --------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Relation R
homogene Relation
dichte Ordnung
vollständige Ordnung
transitive Relation
negative transitive Relation
intransitive Relation
symmetrische Relation
antisymmetrische Relation
asymmetrische Relation
irreflexive Relation
strenge Ordnung (Striktordnung)
strenge schwache Ordnung
strenge Totalordnung
reflexive Relation
verträgliche Relation
Quasiordnung
totale Quasiordnung
Äquivalenzrelation
birationale Äquivalenz
Halbordnung (partielle Ordnung)
Baum
induktive Ordnung
strenge induktive Ordnung
fundierte Ordnung / Menge
Totalordnung (lineare Ordnung)
Wohlordnung
dichte Totalordnung
Kontinuum

R ⊂ X x Y
- + X = Y
  - + zwischen je zwei Elementen liegt ein drittes
  - + jede nach oben beschränkte Teilmenge hat ein Supremum
  - + aRb ∧ bRc → aRc
  - + ¬aRb ∧ ¬bRc → ¬aRc
  - + aRb ∧ bRc ∧ ¬aRc
  - + aRb → bRa
  - + aRb ∧ bRa → a = b
    - + irreflexiv - aRb → ¬(bRa)
  - + ¬aRa
    - + transitiv + asymmetrisch (z.B. "komponentenweise kleiner, aber nicht gleich" auf dem Vektorraum ℝⁿ)
      - + negativ transitiv ¬aRb ∧ ¬bRc → ¬aRc - (z.B. {ℚ, <}, {P(M), ⊊}) einer totalen Quasiordnung komplementär
      - + trichotom - entweder x < y oder x = y oder y < x
  - + aRa
    - + symmetrisch
    - + transitiv - (z.B. gerichtete Wege in einem zyklischen gerichteten Graphen, Teilbarkeit in ℤ, alphabetische Sortierung mit Umlauten)
      - + total - (z.B. {ℂ, |a|≤|b|} da |1|≤|i| + |i|≤|1| = symmetrisch) - einer strengen schwachen Ordnung komplementär
      - + verträglich - (z.B. {ℚ, =})
        
        + zwischen Varietäten, welche isomorphe dichte offene Teilmengen besitzen bzw. isomorphe Funktionenkörper haben
      - + antisymmetrisch - (z.B. {ℂ, ≤}, Teilbarkeit in ℕ) Infimum und Supremum eindeutig, Infimum = größte untere Schranke und umgekehrt
        
        + die Menge der Elternknoten ist eine Wohlordnung
        
        + jede linear geordnete Teilmenge besitzt eine obere Schranke
        
        + jede linear geordnete Teilmenge besitzt eine kleinste obere Schranke
        
        + jede nichtleere Teilmenge enthält mindestens ein minimales Element (z.B Teilbarkeit in ℕ)
        
        + total, trichotom - (z.B. {ℚ, ≤}) kleinstes = minimales Element & größtes = maximales Element - distributiver Verband mit den Verknüpfungen Maximum und Minimum
        
        + fundiert - jede nichtleere Teilmenge enthält genau ein kleinstes Element (z.B. (ℕ, <) ≅ ω, (1<3<5<...<2<4<6<...) ≅ ω*2) (endlich → genau ein Element ohne Vorgänger)
        
        + dicht - nichtleere, abzählbare, ohne kleinstes und größtes Element → enthalten alle anderen abzählbaren Totalordnungen, je zwei Mengen sind ordnungsisomorph
        
        + ℝ ist bis auf Ordnungsisomorphie die einzige vollständige Totalordnung, die eine abzählbare, dichte und zu ℚ ordnungsisomorphe Teilmenge enthält

------------------------------------------------ Funktionen / Abbildungen -------------------------------------------------------------------------------------------------

partielle Funktion
homogene Funktion
Funktion (Abbildung)
surjektive Funktion
injektive Funktion
bijektive Funktion
messbare Funktion
algebraische Funktion
transzendente Funktion
hypergeometrische Funktion
vektorwertige Funktion
reell-vektorwertige Funktion
reellwertige Funktion
harmonische Funktion
komplex-vektorwertige Funktion
komplexwertige Funktion
meromorphe Funktion
holomorphen Funktion
biholomorphe Abbildung
elliptische Funktion
rationale Funktion
Potenzfunktion
ganzrationale Funktion (Polynomfunktion)
konstante Funktion
lineare Funktionen
quadratische Funktion
kubische Funktion
quartische Funktion
stetige Funktion
gleichmäßig stetige Funktion
absolut stetige Funktion
lokal Hölder-stetige Funktion
Hölder-stetige Function
Lipschitz-stetige Funktion
symmetrische Funktion
symmetrisches Polynom
antisymmetrische Funktion
Kreuzprodukt
Determinante
rationale Abbildung
birationale Abbildung
multilineare Abbildung
lineare Abbildung
orthogonale Abbildung
bijektive orthogonale Abbildung
unitäre Abbildung
bijektive unitäre Abbildung
unitärer Operator
2-lineare Abbildung
bilineare Abbildung
Spatprodukt

rechtseindeutig, f: Definitionsmenge X → Zielmenge Y, x ↦ y
- + f(ax₁, ..., ax_k) = aⁿ • f(x₁, ..., x_k) heißt homogen vom Grad n
- + linkstotal
  - + rechtstotal (volltotal), Zielmenge Y und die Bildmenge f(X) stimmen überein, |X| ≥ |Y|, z.B. sin: ℝ → [-1,1]
  - + linkseindeutig (volleindeutig), Urbild jedes Elements der Bildmenge f(X) besteht aus höchstens einem Element von X, |X| ≤ |Y|
    - + surjektiv (rechtstotal), eineindeutig, surjektiv + injektiv
  - + zwischen zwei Messräumen
  - + sind die Lösung einer algebraischen Gleichung (X = ℂ → meromorph)
  - + ist nicht algebraisch z.B. e^x, log x, sin x, cox x, sinh x, cosh x
  - + verallgemeinert die geometrische Reihe z.B. e^x, sin x, cox x, tan x, cot x, Bessel-Funktionen
  - + Y ist ein Vektorraum
    - + Y = ℝⁿ
      - + Y = ℝ
        
        + ist eine Lösung der Laplace-Gleichung, zweimal stetig differenzierbar
    - + Y = ℂⁿ
      - + Y = ℂ
        
        + kann auch isolierte Polstellen besitzen z.B. 1/x, tan x, cot x, Gammafunktion, Zetafunktion, Hurwitzsche Zeta-Funktion
        
        + ist an jedem Punkt komplex differenzierbar z.B. e^x, sin x, cox x, sinh x, cosh x
        
        + bijektiv
        
        + doppeltperiodisch, sind Umkehrfunktionen der elliptischen Integrale
        
        + Quotient zweier ganzrationaler Funktionen
        
        + absolut stetig - elementare Funktion der Form axⁿ mit a ∈ ℂ, n ∈ ℕ
        
        + absolut stetig - Summe von n+1 Potenzfunktionen mit den Exponenten 0, 1, ..., n vom Grad n
        
        + n=0, symmetrisch - nimmt für alle Argumente stets denselben Funktionswert an
        
        + n=1 - Nullstellen durch Lösung der linearen Gleichung, auch bezeichnet als affin-lineare, allgemein lineare oder linear-inhomogene Funktion
        
        + n=2 - Nullstellen durch Lösung der quadratischen Gleichung
        
        + n=3 - Nullstellen durch Lösung der kubischen Gleichung
        
        + n=4 - Nullstellen durch Lösung der quartischen Gleichung
  - + punktweise Stetigkeit
    - + zwischen zwei uniformen Räumen - das Urbild jeder Nachbarschaft ist wieder eine Nachbarschaft
      - + erlaubt eine Charakterisierung von Lebesgue-Integralen
    - + zwischen zwei metrischen Räumen
      - + gleichmäßig stetig - zwischen zwei metrischen Räumen
        
        + absolut stetig - alle Sekanten einer Funktion haben eine Steigung, deren Betrag nicht größer ist als die jeweilige Lipschitz-Konstante
  - + alle Permutationen der Variablen verändern den Funktionswert nicht - Verallgemeinerung des Kommutativgesetzes (z.B. Wellenfunktion von Bosonen)
    - + in mehreren Unbestimmten symmetrisch, wenn man die Unbestimmten untereinander vertauschen kann, ohne das Polynom zu verändern
  - + die Vertauschung zweier Variablen kehrt das Vorzeichen der Funktion um (z.B. Wellenfunktion von Fermionen)
    - + orthogonal zu der von zwei Vektoren aufgespannten Ebene
    - + ordnet einer quadratischen Matrix bzw. allgemein einem Endomorphismus einen Skalar zu, für 3×3 Matrix gleich dem Spatprodukt
  - + X und Y sind irreduzible algebraische Varietäten
    - + es gibt zusätzlich eine rationale Abbildung von Y nach X, und X und Y sind birational äquivalent
  - + ist eine auf einem Produktraum definierte Abbildung, welche bezüglich jedes ihrer Argumente eine lineare Abbildung ist
    - + 1-linear - Homomorphismus zwischen Vektorräumen - homogene lineare Funktion
      - + injektiv, normerhaltend, abstandserhaltend - Abbildung zwischen zwei reellen Prähilberträumen, die das Skalarprodukt erhält
        
        + bijektiv
      - + injektiv, normerhaltend, abstandserhaltend - Abbildung zwischen zwei komplexen Prähilberträumen, die das Skalarprodukt erhält
        
        + bijektiv
        
        + zwischen Hilberträumen
    - + 2-linear - (z.B. Addition, Multiplikation, Kreuzprodukt, Skalarprodukt)
      - + linear in beiden Argumenten - Verallgemeinerung der für Ringe und insbesondere Körper geltenden (Links- und Rechts-)Distributivgesetze
    - + 3-linear - Skalarprodukt aus dem Kreuzprodukt zweier Vektoren und einem dritten Vektor, gleich der Determinante der 3×3 Matrix

----------------------------------------------- Homomorphismen ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Homomorphismus
Ringhomomorphismus
Frobeniushomomorphismus
Epimorphismus
Monomorphismus
Isomorphismus
Homöomorphismus
Diffeomorphismus
Endomorphismus
Automorphismus
Antihomomorphismus
Antiisomorphismus
Antiendomorphismus
Antiautomorphismus

strukturerhaltende Abbildung - Additivität f(u+v) = f(u) + f(v) und Homogenität f(αv) = αf(v) für alle α ∈ K und u,v ∈ V
- + zwischen Ringen
  - + Endomorphismus
- + surjektiv
- + injektiv, Kern ist trivial {N}
  - + bijektiv
    - + stetig in topologischen Räumen
    - + stetig in differenzierbaren Mannigfaltigkeiten
- + X = Y
  - + bijektiv
- + Funktion, die auf zwei Mengen mit jeweils einer zweistelligen Verknüpfung definiert ist und die die Reihenfolge der Operanden umkehrt
  - + bijektiv
  - + X = Y
    - + bijektiv (z.B. Inversionsabbildung in Gruppen)

----------------------------------------------- Gleichungen -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Gleichung
Differentialgleichung
gewöhnliche Differentialgleichung
partielle Differentialgleichung

Aussage über die Gleichheit zweier Terme
- +
  - +
  - +

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------